1. Khái niệm ma trận nghịch đảo (inversion matrix):

1.1 Định nghĩa 1:

Bạn đang xem:

Ma trận vuông I cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu A.I = I.A = A, với mọi ma trận vuông A cấp n

Ta có thể thấy rằng ma trận trên tồn tại. Thật vậy, ma trận thỏa mãn điều kiện trên có dạng sau:

Ngoài ra, ma trận đơn vị là duy nhất. Thật vậy, giả sử có hai ma trận đơn vị I và I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị nên I.I’ = I’.I = I’

và I’ là ma trận đơn vị nên I’.I = I.I’ = I

Do đó: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một ma trận vuông cấp n trên K. Ta nói rằng A là ma trận khả nghịch, nếu tồn tại một ma trận B vuông cấp n trên K sao cho: A.B = B.A = In. Khi đó, B được gọi là ma trận nghịch đảo của ma trận A, ký hiệu A-1.

Tổng quát hơn, ta có: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là duy nhất, vì giả sử tồn tại ma trận C vuông cấp n cũng là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Điều rõ ràng là: (A-1)-1= A, tức là A là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong bài viết này, chúng ta chỉ quan tâm đến tính khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, hiện nay, rất nhiều tài liệu nước ngoài đã đề cập đến khái niệm khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Thực tế, cho A là ma trận cấp m x n trên trường số K. Khi đó, chúng ta nói A là khả nghịch trái nếu tồn tại ma trận L cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải nếu tồn tại ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch nếu A khả nghịch trái và khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận không không khả nghịch.

5. Tập hợp các ma trận vuông cấp n trên K khả nghịch, được ký hiệu là GLn(K).

Xem thêm : Dreamweaver là gì? các tính năng và ưu nhược điểm của nó 

1.4 Các ví dụ:

Xét các ma trận vuông thực, cấp 2 sau đây:

Chúng ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch và A là ma trận nghịch đảo của B; B là ma trận nghịch đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vì với mọi ma trận vuông cấp 2 chúng ta đều có:

Nhận xét: Ma trận có ít nhất 1 dòng (hoặc cột) không khả nghịch.

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì tích AB cũng khả nghịch và (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì AT cũng khả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(Hãy chứng minh kết quả trên bằng bằng chứng)

3. Mối quan hệ giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cấp n trên K (n ≥ 2) được gọi là ma trận sơ cấp dòng (cột) nếu E là kết quả của việc áp dụng chính xác một phép biến đổi sơ cấp dòng (cột) vào ma trận đơn vị In. Các ma trận sơ cấp dòng hoặc sơ cấp cột được gọi chung là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp dòng (hoặc cột) đều khả nghịch và nghịch đảo của chúng lại là một ma trận sơ cấp dòng (hoặc cột).

Chúng ta có thể kiểm tra trực tiếp kết quả trên bằng thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp dạng 1: nhân 1 dòng của ma trận đơn vị với α ≠ 0

Ma trận sơ cấp dạng 2: cộng hàng i đã nhân với λ vào dòng j

Ma trận sơ cấp dạng 3: Đổi chỗ dòng i và dòng j

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương:

Xem thêm : Cách dùng cấu trúc As of có thể bạn chưa biết!

1. A khả nghịch

2. Ma trận In có thể thu được từ A thông qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (hoặc cột)

3. A là tích của một số hữu hạn các ma trận sơ cấp

(Bạn đọc có thể xem chứng minh định lý này trong các giáo trình về Đại số tuyến tính)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên K (n ≥ 2). Khi đó, các phát biểu sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch khi và chỉ khi dạng bậc thang chính tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì ma trận In có thể thu được từ A thông qua một số hữu hạn các phép biến đổi sơ cấp dòng (hoặc cột); đồng thời, chính dãy các phép biến đổi sơ cấp dòng (hoặc cột) đó sẽ biến In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật toán Gausβ – Jordan tìm ma trận nghịch đảo bằng phép biến đổi sơ cấp:

Chúng ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo (nếu có) của ma trận A vuông cấp n trên K. Thuật toán này được xây dựng dựa trên kết quả thứ 2 từ hệ quả 3.4. Chúng ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tạo ra một ma trận có n hàng, 2n cột bằng cách ghép ma trận đơn vị cấp n In vào bên phải ma trận A

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp dòng để đưa [ A|I ] về dạng [ A’ | B ], trong đó A’ là một ma trận hạng chính tắc.

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A không khả nghịch. Tức là, trong quá trình biến đổi, nếu A’ có ít nhất 1 dòng không khả nghịch, ta có thể kết luận ngay A không khả nghịch (không cần đưa A’ về dạng hạng chính tắc) và kết thúc thuật toán.

Ví dụ minh họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm ma trận nghịch đảo của:

Từ đó có

Giải:

Do đó, ta có: A khả nghịch và:

Từ đó suy ra: . Do đó:

Nguồn: https://stamboom-boden.com
Danh mục: Là Gì