Bài giảngGiải tích 1Giải tích 2Đại số tuyến tính (LinearAlgebra)Xác suất thốngkêPhương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng biệt cùng PBĐLaplace)Thảo luậnThảo luận về giảitíchThảo luận ĐSTTThảo luận XSTKEbooksMaths Ebooks

1. Khái niệm ma trận nghịch hòn đảo (matrix inversion):

1.1 Định nghĩa 1:

Ma trận vuông I cấp cho n được hotline là ma trận đơn vị chức năng giả dụ A.I = I.A = A, với đa số ma trận vuông A cấp n

Ta nhận thấy ma trận bên trên là sống thọ. Thật vậy, ma trận thỏa điều kiện trên tất cả dạng sau:


*

Ma trận đơn vị cấp n

Trong khi, ma trận đơn vị là tuyệt nhất. Thật vậy, mang sử tất cả hai ma trận đơn vị chức năng I cùng I’. Ta có:

Vì I là ma trận đơn vị chức năng yêu cầu I.I’ = I’.I = I’

cùng I’ là ma trận đơn vị đề nghị I’.I = I.I’ = I

Vậy: I = I’

1.2 Định nghĩa 2:

Cho A là một trong những ma trận vuông cấp cho n bên trên K. Ta bảo A là ma trận khả nghịch, trường hợp lâu dài một ma trận B vuông cấp cho n trên K sao cho: A.B = B.A = In. lúc kia, B được Call là ma trận nghịch đảo của ma trận A, cam kết hiệu A-1.Bạn vẫn xem: Tính ma trận nghịch đảo

Nhỏng vậy: A.A-1= A-1.A= In

1.3 Nhận xét:

1. Ma trận nghịch đảo là độc nhất, bởi mang sử vĩnh cửu ma trận C vuông cấp n cũng chính là ma trận nghịch đảo của A. Ta có: A.C = C.A = In , thì: B = B.In = B(A.C) = (B.A).C = In.C = C

2. Hiển nhiên: (A-1)-1= A, nghĩa là A lại là ma trận nghịch đảo của A-1

3. Trong giáo trình này, ta chỉ xét sự khả nghịch của ma trận vuông. Tuy nhiên, bây giờ, có không ít giáo trình quốc tế vẫn đề cập tới định nghĩa khả nghịch của ma trận bất kỳ.

Bạn đang xem: Ma trận nghịch đảo là gì

Thật vậy, mang đến A là ma trận cấp m x n trên ngôi trường số K. Lúc đó, ta bảo A là khả nghịch trái giả dụ trường thọ ma trận L cung cấp n x m sao cho: L.A = In.; A là khả nghịch phải giả dụ mãi mãi ma trận R cấp n x m sao cho: A.R = Im. Và khi đó, dĩ nhiên A khả nghịch giả dụ A khả nghịch trái với khả nghịch phải.

4. Ma trận đơn vị là khả nghịch, Ma trận ko ko khả nghịch.

5. Tập phù hợp những ma trận vuông cung cấp n bên trên K khả nghịch, được ký kết hiệu là GLn(K).

Xem thêm: Political Science Là Gì ? Cập Nhật Thông Tin Về Ngành Chính Trị Học

1.4 Các ví dụ:

Xét những ma trận vuông thực, cấp cho 2 sau đây:


*

Ta có: A.B = B.A = I2. Do đó: A, B là khả nghịch với A là nghịch đảo của B; B là nghịch hòn đảo của A

Ma trận C không khả nghịch vày với tất cả ma trận vuông cung cấp 2 ta phần lớn có:


*

2. Tính chất:

1. Nếu A, B là khả nghịch thì ma trận tích AB là khả nghịch cùng (AB)-1= B-1. A-1

2. Nếu A khả nghịch thì ATkhả nghịch và (AT)-1= (A-1)T

(quý khách hãy thừ chứng minh công dụng bên trên nhé)

3. Mối tình dục giữa ma trận khả nghịch và ma trận sơ cấp:

3.1 Ma trận sơ cấp: Ma trận E vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2) được điện thoại tư vấn là ma trận sơ cấp cho dòng (cột) nếu E chiếm được từ ma trận đơn vị chức năng In bời đúng 1 phxay thay đổi sơ cấp dòng (cột). Các ma trận sơ cung cấp cái xuất xắc cột Call thông thường là ma trận sơ cấp.

3.2 Tính chất: Mọi ma trận sơ cấp cho loại (tốt cột) các khả nghịch với nghịch hòn đảo của nó lại là 1 trong ma trận sơ cấp cho chiếc.

Ta có thể đánh giá trực tiếp công dụng bên trên bởi thực nghiệm:

Ma trận sơ cấp cho dạng 1: nhân 1 loại của ma trận đơn vị chức năng với α ≠ 0


*

Ma trận sơ cung cấp dạng 1


*

Ma trận sơ cấp cho dạng 2


Ma trận sơ cung cấp dạng 3

3.3 Định lý:

Cho A là ma trận vuông cung cấp n bên trên K (n ≥ 2). Khi kia, các xác minh sau đấy là tương đương:

1. A khả nghịch

2. In nhận được từ A bởi vì một vài hữu hạn những phxay biến hóa sơ cung cấp chiếc (cột)

3. A là tích của một vài hữu hạn những ma trận sơ cấp

(quý khách hàng đọc có thể coi chứng minh định lý này vào ca1c giáo trình về ĐSTT)

3.4 Hệ quả:

Cho A là ma trận vuông cấp cho n bên trên K (n ≥ 2). Lúc đó, những xác minh sau đây là tương đương:

1. A khả nghịch Khi còn chỉ Khi dạng bao gồm tắc của A là In

2. Nếu A khả nghịch thì In cảm nhận trường đoản cú A bởi vì một số hữu hạn những phnghiền thay đổi sơ cấp cho mẫu (cột); đồng thời, bao gồm hàng các phép chuyển đổi sơ cung cấp loại (cột) đó sẽ biến đổi In thành nghịch đảo của ma trận A.

4. Thuật tân oán Gausβ – Jordan tra cứu ma trận nghịch hòn đảo bởi phép đổi khác sơ cấp:

Ta sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan để tìm nghịch đảo (trường hợp có)của ma trận A vuông cấp cho n trên K. Thuật toán này được phát hành nhờ vào tác dụng thứ hai của hệ quả 3.4. Ta thực hiện quá trình sau đây

Cách 1: lập ma trận n hàng, 2n cột bằng phương pháp ghnghiền thêm ma trận đơn vị chức năng cấp n I vào bên yêu cầu ma trận A


Lập ma trận đưa ra khối hận cấp n x 2n

– Nếu A’ = In thì A khả nghịch và A-1 = B

– Nếu A’ ≠ In thì A ko khả nghịch. Nghĩa là, trong quá trình đổi khác giả dụ A’ xuất hiện thêm tối thiểu 1 loại ko thì chớp nhoáng tóm lại A không khả nghịch (không cần phải đưa A’ về dạng chính tắc) cùng dứt thuật toán thù.

lấy ví dụ minch họa: Sử dụng thuật toán Gausβ – Jordan nhằm tra cứu ma trận nghịch hòn đảo của:

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *