Bạn đang xem: Ma trận trực giao là gì
Quý khách hàng đang xem: Ma trận trực giao là gì
Trong toán thù học, ma trận là 1 mảng chữ nhật<1>—các số, cam kết hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàng với cột<2><3>—cơ mà từng ma trận tuân thủ theo đúng mọi phép tắc định trước. Từng ô vào ma trận được Điện thoại tư vấn là các phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng với 3 cột.
. 1&9&-1320&5&-6end}.}
Khi các ma trận có thuộc kích cỡ (chúng gồm cùng số hàng và thuộc số cột), thì có thể thực hiện phxay cùng hoặc trừ nhị ma trận bên trên những bộ phận tương xứng của bọn chúng. Dù vậy, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ hoàn toàn có thể triển khai được Khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số mặt hàng của ma trận thứ nhì. Ứng dụng thiết yếu của ma trận chính là phnghiền biểu diễn những chuyển đổi con đường tính, Tức là sự bao quát hóa hàm tuyến đường tính như f(x) = 4x . lấy ví dụ, phxay tảo những vectơ vào không khí ba chiều là một phxay chuyển đổi đường tính mà có thể trình diễn bởi một ma trận tảo R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ tất cả một cột) miêu tả vị trí của một điểm vào không khí, tích của Rv là một trong vec tơ cột mô tả vị trí của điểm này sau phnghiền con quay này. Tích của nhì ma trận biến hóa là 1 ma trận màn biểu diễn hợp của hai phép chuyển đổi đường tính. Một vận dụng khác của ma trận đó là tra cứu nghiệm của các hệ pmùi hương trình tuyến đường tính. Nếu là ma trận vuông, hoàn toàn có thể chiếm được một số trong những đặc điểm của nó bằng phương pháp tính định thức của nó. lấy một ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch giả dụ còn chỉ nếu định thức của chính nó không giống không. Quan niệm hình học tập của một phép biến hóa con đường tính là nhận được (cùng rất phần đa thông báo khác) trường đoản cú trị riêng với vec tơ riêng biệt của ma trận.
cũng có thể thấy ứng dụng của triết lý ma trận trong phần lớn những nghành kỹ thuật. Trong mỗi nhánh của thiết bị lý học, bao hàm cơ học cổ xưa, quang học, năng lượng điện từ bỏ học tập, cơ học lượng tử, với năng lượng điện động lực học lượng tử, chúng được áp dụng nhằm phân tích những hiện tượng kỳ lạ đồ lý, như hoạt động của đồ gia dụng rắn. Trong giao diện laptop, ma trận được sử dụng để chiếu một hình ảnh 3D lên screen 2D. Trong triết lý tỷ lệ cùng những thống kê, những ma trận tự nhiên được áp dụng nhằm miêu tả tập hòa hợp những xác suất; ví dụ, bọn chúng dùng trong thuật toán PageRank nhằm xếp thứ hạng các trang trong lệnh tra cứu tìm của Google.<4> Phnghiền tính ma trận bao quát hóa những tư tưởng vào giải tích nhỏng đạo hàm cùng hàm mũ so với số chiều lớn hơn.
Một nhánh bao gồm của giải tích số dành riêng để trở nên tân tiến những thuật toán thù có ích cho các tính toán ma trận, một chủ đề đang hàng ngàn năm tuổi cùng là một nghành nghề phân tích rộng lớn thời nay. Pmùi hương pháp knhì triển ma trận làm cho dễ dàng và đơn giản hóa những tính toán bao gồm cả phương diện định hướng lẫn thực hành. Những thuật tân oán dựa vào mọi cấu tạo của những ma trận đặc biệt quan trọng, nlỗi ma trận thưa (sparse) và ma trận gần chéo cánh, góp xử lý phần đông tính tân oán trong phương pháp thành phần hữu hạn cùng đa số tính tân oán khác. Ma trận vô hạn xuất hiện thêm trong cơ học thiên thể cùng lý thuyết nguyên ổn tử. Một ví dụ đơn giản dễ dàng về ma trận vô hạn là ma trận trình diễn những toán tử đạo hàm, mà chức năng cho chuỗi Taylor của một hàm số.
1 Định nghĩa 1.1 Độ to 2 Lịch sử 3 Ký hiệu 4 Các phép toán thù cơ bạn dạng 4.1 Phnghiền cùng, nhân một vài với ma trận, với ma trận gửi vị 4.2 Nhân ma trận 4.3 Phxay tân oán sản phẩm 4.4 Ma trận bé 5 Pmùi hương trình tuyến đường tính 6 Biến thay đổi tuyến tính 7 Ma trận vuông 7.1 Các một số loại ma trận quan trọng đặc biệt 7.1.1 Ma trận tam giác 7.1.2 Ma trận đơn vị 7.1.3 Ma trận đối xứng hoặc đối xứng lệch 7.1.4 Ma trận khả nghịch cùng nghịch đảo của chính nó 7.1.5 Ma trận xác định 7.1.6 Ma trận trực giao 7.2 Các tính toán thù đa phần 7.2.1 Vết 7.2.2 Định thức 7.2.3 Ma trận nghịch đảo 7.2.4 Vectơ riêng rẽ với trị riêng 8 Khía cạnh tính tân oán 9 Phân tích ma trận 10 Khía cạnh đại số trừu tượng với tổng thể hóa 10.1 Ma trận với những phần tử không ngừng mở rộng 10.2 Mối tương tác với ánh xạ con đường tính 10.3 Nhóm ma trận 10.4 Ma trận trống rỗng 11 Ứng dụng 11.1 Lý tngày tiết đồ thị 11.2 Giải tích cùng hình học 11.3 Lý thuyết Phần Trăm cùng thống kê lại 11.4 Đối xứng cùng những chuyển đổi trong thiết bị lý học tập 11.5 Tổ đúng theo tuyến tính của các tâm lý lượng tử 11.6 Dao động riêng rẽ 11.7 Quang hình học tập 11.8 Điện tử học 12 Tđê mê khảo 13 Tsay đắm khảo 13.1 Tham khảo về đồ lý 13.2 Tyêu thích khảo về lịch sử hào hùng 14 Liên kết bên cạnh
Định nghĩa
Ma trận là một mảng chữ nhật chứa các số hoặc phần nhiều đối tượng người dùng tân oán học tập không giống, mà rất có thể có mang một số phép tân oán như cộng hoặc nhân trên những ma trận.<5> Hay chạm mặt duy nhất đó là ma trận trên một trường F là một mảng chữ nhật chứa những đại lượng vô vị trí hướng của F.<6><7> Bài viết này đề cùa đến các ma trận thực với phức, Tức là những ma trận nhưng các bộ phận của chính nó là các số thực hoặc số phức. Những nhiều loại ma trận tổng quát rộng được trao đổi sống bên dưới. Ví dụ, ma trận thực:
A = . =-1,3&0,6đôi mươi,4&5,59,7&-6,2end}.}
Các số, cam kết hiệu giỏi biểu thức trong ma trận được Điện thoại tư vấn là các phần tử của chính nó. Các đường theo phương ngang hoặc phương dọc đựng những bộ phận trong ma trận được Hotline tương xứng là mặt hàng và cột.
Độ Khủng
Độ to giỏi cỡ của ma trận được định nghĩa bởi con số mặt hàng và cột mà ma trận bao gồm. Một ma trận m mặt hàng với n cột được Điện thoại tư vấn là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong những lúc m và n được gọi là chiều của chính nó. lấy ví dụ như, ma trận A sinh sống trên là ma trận 3 × 2.
Ma trận chỉ có một hàng Hotline là vectơ sản phẩm, với phần nhiều ma trận chỉ tất cả một cột gọi là vectơ cột. Ma trận bao gồm cùng số mặt hàng với số cột được Hotline là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được Call là ma trận vô hạn. Trong một số ngôi trường phù hợp, nhỏng công tác đại số máy tính, đang hữu ích Khi xét một ma trận mà lại không có hàng hoặc không tồn tại cột, goi là ma trận trống rỗng.
Tên Gọi Độ phệ lấy ví dụ như Miêu tả Vectơ sản phẩm 1 × n 3&7&2end}}
Ma trận bao gồm một cột, đôi lúc được dùng để làm màn trình diễn một vectơ Ma trận vuông n × n 9&13&51&11&72&6&3end}}
Ma trận gồm cùng số mặt hàng cùng số cột, nó được sử dụng để biểu diễn phxay biến đổi tuyến tính từ một không khí vec tơ vào bao gồm nó, nhỏng phxay sự phản xạ, phxay cù hoặc ánh xạ cắt.
Lịch sử
Ma trận gồm một lịch sử lâu năm về áp dụng trong giải các phương thơm trình tuyến đường tính nhưng lại chúng được biết đến là những mảng cho đến tận những năm 1800. Cuốn nắn sách Cửu cmùi hương toán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN giới thiệu pmùi hương trận nhằm giải hệ năm pmùi hương trình con đường tính,<8> bao hàm tư tưởng về định thức. Năm 1545 đơn vị tân oán học tập fan Ý Girolamo Cardano reviews phương pháp giải này vào châu Âu khi ông công bố quyển Ars Magna.<9> Nhà toán học tập Nhật Bản Seki vẫn áp dụng phương pháp mảng này nhằm giải hệ phương trình vào thời điểm năm 1683.<10> Nhà toán thù học Hà Lan Jan de Witt lần thứ nhất màn trình diễn những biến đổi bên dưới dạng ma trận mảng vào cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).<11> Giữa những năm 1700 cùng 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz chào làng phương pháp sử dụng những mảng nhằm ghi lại biết tin giỏi kiếm tìm nghiệm và nghiên cứu và phân tích trên 50 các loại ma trận không giống nhau.
Xem thêm: Vốn Điều Lệ Tiếng Anh Là Gì, (What Is The Charter Capital In English
<9> Cramer giới thiệu luật lệ của ông vào thời điểm năm 1750.Thuật ngữ trong tiếng Anh “matrix” (giờ Latin là “womb”, dẫn xuất từ mater—mẹ<12>) vì chưng James Joseph Sylvester nêu ra vào năm 1850,<13> khi ông nhận ra rằng ma trận là một trong những đối tượng người sử dụng làm cho xuất hiện một số định thức nhưng thời buổi này hotline là phần phú đại số, có nghĩa là định thức của rất nhiều ma trận nhỏ tuổi rộng nhận được từ ma trận ban đầu bằng cách xóa đi những mặt hàng và những cột. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:
Tôi đã định nghĩa trong bài bác báo trước về “Ma trận” là một trong mảng chữ nhật cất các bộ phận, mà lại đông đảo định thức khác biệt hoàn toàn có thể giới thiệu định thức của ma trận bà mẹ.<14>
Arthur Cayley đăng một chuyên luận về những phép biến đổi hình học tập áp dụng ma trận ngoài những phxay đổi khác cù đã được điều tra khảo sát trước đó. Tgiỏi vào kia, ông có mang những phxay tân oán như cùng, trừ, nhân cùng chia hầu như ma trận này cùng chứng tỏ các nguyên tắc phối kết hợp và phân phối hận vẫn được thỏa mãn. Cayley đã phân tích và dẫn chứng tính chất ko giao hoán của phxay nhân ma trận cũng tương tự tính giao hoán thù của phxay cùng ma trận.<9> Lý tngày tiết ma trận sơ knhì bị số lượng giới hạn sống giải pháp sử dụng các mảng với tính định thức cùng những phxay toán thù ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã tạo nên sự cuộc bí quyết mạng đến định hướng này. Ông vận dụng quan niệm ma trận mang đến hệ phương thơm trình tuyến đường tính hòa bình. Năm 1858 Cayley ra mắt Hồi cam kết về định hướng ma trận<15><16> trong những số đó ông nêu ra và chứng minh định lý Cayley-Hamilton.<9>
Nhà toán thù học bạn Anh Cullis là fan trước tiên thực hiện ký hiệu ngoặc tiến bộ mang lại ma trận vào khoảng thời gian 1913 cùng ông cũng viết ra ký kết hiệu đặc trưng A = nhằm trình diễn một ma trận với ai,j là bộ phận ở mặt hàng lắp thêm i với cột sản phẩm công nghệ j.<9>
Quá trình phân tích định thức khởi đầu từ một số trong những nguồn không giống nhau.<17> Các bài bác tân oán số học dẫn Gauss tiếp cận tương tác những thông số của dạng toàn pmùi hương, những đa thức gồm dạng x2 + xy − 2y2, với ánh xạ tuyến đường tính vào không khí cha chiều với ma trận. Eisenstein đang cách tân và phát triển xa rộng những có mang này, với dìm xét Theo phong cách phân phát biểu hiện đại rằng tích ma trận là không giao hoán thù. Cauchy là fan đầu tiên minh chứng phần nhiều mệnh đề tổng quát về định thức, Lúc ông thực hiện tư tưởng nlỗi sau về định thức của ma trận A = : sửa chữa lũy vượt ajk bằng ajk trong đa thức
a 1 a 2 ⋯ a n ∏ i
với Π ký hiệu tích những hệ số đứng đằng sau. Ông cũng minh chứng vào thời điểm năm 1829 rằng cực hiếm riêng rẽ của các ma trận đối xứng là thực.<18> Jacobi nghiên cứu và phân tích “định thức hàm”—mà sau đây vươn lên là định thức Jacobi như giải pháp Hotline của Sylvester—nó được ứng dụng nhằm nghiên cứu và phân tích các thay đổi hình học tập ở tại mức cục bộ (tốt vô cùng bé); bài xích báo Vorlesungene über die Theorie der Determinanten của Kronecker <19> cùng Zur Determinantentheorie của Weierstrass,<20> cả nhị phần đa được ra mắt vào năm 1903, lần thứ nhất đã coi định thức theo cách định đề hóa, ngược chở lại so với phương pháp tiếp cận ví dụ ở hồ hết lần trước đó như trong công thức của Cauchy.
hầu hết định lý lúc đầu chỉ phát biểu cho các ma trận nhỏ dại, ví như định lý Cayley–Hamilton được minh chứng mang lại ma trận 2×2 như Cayley chỉ ra vào luận án của chính mình, cùng vì Hamilton cho ma trận 4×4. Frobenius, dựa vào các dạng tuy nhiên con đường tính, sẽ bao quát định lý quý phái phần lớn kích thước (1898). Cũng vào vào cuối thế kỷ 19 cách thức khủ Gauss–Jordan (tổng quát hóa đến trường vừa lòng đặc biệt quan trọng sẽ là phnghiền khử Gauss) vị công ty trắc địa Wilhelm Jordan nêu ra. Trong vào đầu thế kỷ đôi mươi, ma trận vẫn đạt mức phương châm trung tâm trong đại số con đường tính,<21> một phần dựa vào áp dụng của nó vào phân loại hệ thống số khôn cùng phức trong nạm kỷ trước.
Sự mở màn của cơ học tập ma trận bởi các nhà đồ vật lý Heisenberg, Born cùng Jordan nêu ra đang dẫn đến nghiên cứu về ma trận bao gồm vô hạn sản phẩm cùng cột.<22> Later, von Neumann sẽ tùy chỉnh cấu hình lên phát biểu toán thù học của cơ học lượng tử, bằng cách trở nên tân tiến xa hơn các tư tưởng của giải tích hàm nlỗi tân oán tử tuyến tính trong không khí Hilbert, nhưng mà, nói sơ lược, tương ứng với không khí Euclide, dẫu vậy gồm vô hạn hướng độc lập.
A = . =a_&a_&cdots &a_a_&a_&cdots &a_vdots &vdots &ddots &vdots a_&a_&cdots &a_end}.}
