Để học xuất sắc Toán thù lớp 9, Top giải mã soạn siêng đề sơ đồ dùng tư duy toán 9 cmùi hương 2 hình học. Chuyên ổn đề bao gồm sơ thứ tư duy, định hướng và những dạng bài bác tập liên quan mang đến cmùi hương 2: Đường tròn. Đây là những kiến thức khôn xiết đặc biệt góp những em học tập xuất sắc Toán 9 cũng tương tự đạt điểm cao môn Toán thù trong kỳ thi vào lớp 10 sắp tới đây.

Bạn đang xem: Sơ đồ tư duy toán 9 chương 2 hình học

A. Sơ vật dụng bốn duy toán thù 9 cmùi hương 2 hình học- đường tròn

1. Sơ thứ tư duy toán thù 9 cmùi hương 2 hình học triết lý đường tròn

*

*

*

2. Sơ vật dụng bốn duy tân oán 9 cmùi hương 2 hình học các phương pháp con đường tròn

*

B. Lý thuyết Đường tròn


I. Sự xác minh của mặt đường tròn, đặc điểm đối xứng của mặt đường tròn

1. Đường tròn

- Đường tròn tâm O bán kính R (R > 0) là hình có những điểm phương pháp điểm O một khoảng cách bằng R.

2. Vị trí tương đối của một điểm với cùng một đường tròn

- Cho đường tròn trung ương (O;R) với điểm M.

+ M ở trên đường tròn (O;R) ⇔ OM = R

+ M nẳm vào đường tròn (O;R) ⇔ OM R

3. Cách khẳng định mặt đường tròn

- Qua ba điểm không trực tiếp hàng ta vẽ được một với chỉ một con đường tròn.

4. Tính hóa học đối xứng của mặt đường tròn

- Đường tròn là hình tất cả trung khu đối xứng. Tâm của mặt đường tròn là trung ương đối xứng của của mặt đường tròn đó.

- Đường tròn là hình có trục đối xứng, trục ngẫu nhiên đường kính nào cũng là trục đối xứng của con đường tròn.

II. Dây của con đường tròn

1. So sánh độ dài của đường kính và dây

- Trong những dây của con đường tròn dây lớn nhất là mặt đường kính

2. Quan hệ vuông góc thân 2 lần bán kính cùng dây

- Trong một đường tròn, 2 lần bán kính vuông góc với một dây thì trải qua trung điểm của dây ấy.

- Trong một con đường tròn, 2 lần bán kính trải qua trung điểm của 1 dây thì vuông góc với dây ấy.

3. Liên hệ giữa dây với khoảng cách từ chổ chính giữa đến dây

+ Trong 1 đường tròn:

2 dây bằng nhau thì cách các tâm

2 dây giải pháp phần lớn trung ương thì bằng nhau

+ Trong 2 dây của một đường tròn

Dây như thế nào phệ hơn thì dây kia sát trung khu hơn

Dây nào nhỏ hơn thế thì dây đó xa trung tâm hơn

III. Vị trí tương đối của đường trực tiếp với con đường tròn

1. Vị trí tương đối của đường thẳng với con đường tròn

- Cho mặt đường tròn trung tâm (O;R) và đường thẳng Δ, đặt d = d(O,Δ) Khi đó:

Đường trực tiếp cắt con đường tròn trên 2 điểm phân biệt ⇔ d

Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn tại một điểm ⇔ d=R

Đường trực tiếp với mặt đường tròn không giao nhau ⇔ d>R

- khi mặt đường trực tiếp và con đường tròn tiếp xúc nhau thì đường trực tiếp được Điện thoại tư vấn là tiếp đường của đường tròn. Điểm chung thân mặt đường thẳng với con đường tròn hotline là tiếp điểm.

2. Dấu hiệu nhận ra tiếp tuyến đường của mặt đường tròn

- Nếu 1 con đường trực tiếp là tiếp con đường của một mặt đường tròn thì nó vuông góc cùng với bán kính đi qua tiếp điểm

- Nếu 1 mặt đường trực tiếp đi sang một điểm của đường tròn và vuông góc cùng với bán kính đi qua đặc điểm đó thì con đường win ẩy là tiếp tuyến đường cùa đường tròn.

3. Tính hóa học của hai tiếp đường cắt nhau

- Nếu hai tiếp con đường cùa một con đường tròn cắt nhau trên một điểm thì:

Điếm kia phương pháp đông đảo nhị tiếp điểm.

Tia kẻ từ bỏ điểm này đi qua tâm là tia phân giác của góc sản xuất vị hai tiếp tuyến.

Tia kẻ trường đoản cú vai trung phong trải qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo vày nhì bán kính (trải qua các tiếp điểm)

4. Đường tròn nội tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh cùa một tam giác được hotline là con đường tròn nội tiếp tam giác, còn tam giác được Call là nước ngoài tiếp con đường tròn.

- Tâm cùa mặt đường tròn nội tiếp tam giác được hotline là giao điểm cùa những con đường phân giác các góc vào tam giác.

5. Đường tròn bàng tiếp tam giác

- Đường tròn tiếp xúc với một cạnh cùa một tam giác và xúc tiếp với những phần kéo dài của hai cạnh cơ được hotline là đường tròn bàng tiếp tam giác.

- Với một tam giác, tất cả bố mặt đường tròn bàng tiếp.

- Tâm cùa con đường tròn bàng tiếp tam giác vào góc A là giao điểm cùa hai đường phân giác các góc bên cạnh tại B với C, hay những giao điểm cùa đường phân giác góc A với đường phân giác bên cạnh tại B (hoặc C).

IV. Vị trí kha khá của hai đường tròn

1. Tính chất đường nối tâm

- Đường nối tâm của hai con đường tròn là trục đối xứng cùa hình bao gồm cà hai tuyến phố tròn kia.

- Nếu hai tuyến đường tròn cắt nhau thì hai giao điếm đồi xứng cùng nhau qua con đường nối trung ương.

- Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm ở trên đường nối trọng tâm.

2. Vị trí tương đối của hai tuyến phố tròn.

+ Cho 2 con đường tròn (O; R) với (O"; r) đặt OO"=d

- Hai con đường tròn giảm nhau trên 2 điểm ⇔ R-r

Tiếp xúc trong ⇔ d = R - r

Tiếp xúc ngoài ⇔ d = R + r

- Hai đường trong không giao nhau

+ Tại xung quanh nhau ⇔ d > R + r

+ O chứa O" ⇔ d 3. Tiếp đường phổ biến của nhì đường tròn

- Tiếp đường chung cùa hai tuyến đường tròn là mặt đường trực tiếp xúc tiếp với cả hai tuyến phố tròn kia.

- Tiếp tuyến tầm thường xung quanh là tiếp đường bình thường ko cắt đoạn nối tâm.

- Tiếp đường thông thường vào là tiếp tuyến đường tầm thường cắt đoạn nối tâm.

V. Liên hệ thân cung với dây

1. Định lí 1

+ Với hai cung nhỏ tuổi vào một đường tròn tốt vào hai tuyến phố tròn bởi nhau:

- Hai cung đều bằng nhau căng nhị dây cân nhau.

- Hai dây cân nhau căng nhì cung đều bằng nhau.

2. Định lí 2

+ Với nhị cung bé dại trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bởi nhau:

- Cung lớn hơn căng dây lớn hơn.

- Dây lớn hơn căng cung lớn hơn.

3. Bổ sung

+ Trong một đường tròn, hai cung bị chắn thân hai dây tuy vậy tuy nhiên thì bằng nhau.

+ Trong một con đường tròn, đường kính trải qua điếm tại chính giữa của một cung thì trải qua trung điểm của dây căng cung ấy.

+ Trong một mặt đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây (ko đi qua tâm) thì đi qua điếm vị trí trung tâm của cung bị căng vì chưng dây ấy.

+ Trong một con đường tròn, đường kính đi qua điếm ở trung tâm của một cung thì vuông góc cùng với dây căng cung ấy cùng ngược trở lại.

VI. Góc nội tiếp mặt đường tròn

1. Định nghĩa: Góc nội tiếp là góc gồm đỉnh ở trên phố tròn và nhì cạnh chứa nhì dây cung của đường tròn ấy.

- Cung ở bên trong góc được gọi là cung bị khuất.

2. Định lí: Trong một mặt đường tròn, số đo của góc nội tiép bởi nửa số đo của cung bị chắn.

3. Hệ quả

+ Trong một mặt đường tròn:

- Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung đều bằng nhau.

- Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung cân nhau thì đều bằng nhau.

- Góc nội tiếp (nhỏ dại rộng hoặc bởi 90° gồm số đo bởi nửa số đo của góc nghỉ ngơi tâm thuộc chắn một cung.

- Góc nội tiếp chắn nửa con đường trònlà góc vuông.

Xem thêm: Chồng Trẻ Kém 8 Tuổi Của Lâm Khánh Chi Được Chồng Trẻ "Tháp Tùng" Đi Chợ Hoa

VII. Góc tạo nên do tiếp đường cùng dây cung

1. Định lí: Số đo của góc chế tác bởi vì tiếp tuyến cùng dây cung bởi nửa số đo của cung bị khuất.

2. Hệ quả: Trong một con đường tròn, góc tạo thành do tia tiếp đường cùng dây cung với góc nội tiếp thuộc chắn một cung thì cân nhau.

3. Định lí (té sung)

- Nếu góc BAx (cùng với đỉnh A ở trên phố tròn, một cạnh chứa dây cung AB), có số đo bằng nửa số đo của cung AB căng dây đó cùng cung này nằm bên phía trong góc đó thì cạnh Ax là một tia tiếp đường của con đường tròn.

VIII. Góc làm việc đỉnh bên trong, và góc sinh hoạt đỉnh phía bên ngoài mặt đường tròn

Định lí 1: Số đo của góc tất cả đỉnh sinh hoạt phía bên trong đường tròn bằng nửa tổng so đọ nhì cung bị khuất.

Định lí 2: Số đo của góc tất cả đỉnh sinh sống phía bên ngoài mặt đường tròn bằng nửa hiệu so đo hai cung bị chắn.

IX. Cung cất góc

1. Quỹ tích cung chứa góc

- Với đoạn trực tiếp AB cùng góc ∝ (00 

Hai cung cất góc ∝ nói trên là hai cung tròn đối xứng với nhau qua AB.

Hai điếm A, B được coi là thuộc quỹ tích.

Đặc biệt: Quỹ tích các điếm M quan sát đoạn trực tiếp AB mang lại trước bên dưới một góc vuông là đường tròn đường kính AB.

2. Cách vẽ cung đựng góc ∝

Vẽ đường trung trực d của đoạn chiến hạ AB.

Vẽ tia Ax tạo ra với AB một góc ∝

Vẽ mặt đường trực tiếp Ay vuông góc với Ax. Gọi O là giao điểm của Ay cùng với d.

Vẽ cung AmB, tâm O, nửa đường kính OA thế nào cho cung này nằm tại vị trí nửa phương diện phẳng bờ AB không chứa tia Ax. Cung AmB được vẽ nlỗi trên là 1 trong cung cất góc ∝.

3. Cách giải bài toán thù quỹ tích

- Muốn chứng tỏ quỹ tích (tập hợp) những điếm M thỏa mãn tính chất T là một hình H nào kia, ta đề xuất chứng tỏ hai phần:

Phần thuận: Mọi điếm có tính chất T số đông thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm ở trong hình H đều phải sở hữu đặc điểm T.

Kết luận: Quỹ tích các điếm M gồm tính chất T là hình H.

X. Tđọng giác nội tiếp

*

*

*

1. Định nghĩa: Một tứ giác tất cả tứ đỉnh nằm ở một mặt đường tròn được Hotline là tứ đọng giác nội tiếp mặt đường tròn.

2. Định lí

- Trong một tđọng giác nội tiêp, toàn bô đo 2 góc đối diện bởi 180o

- Nếu một tứ giác gồm tổng số đo 2 góc đối lập bởi 180o thì tđọng giác đó nội tiếp được mặt đường tròn.

3. Một số tín hiệu phân biệt tứ đọng giác nội tiếp

*

- Tứ đọng giác bao gồm tư đỉnh nằm trong một mặt đường tròn là tứ giác nội tiếp đường tròn.

- Tứ đọng giác có tổng thể đo 2 góc đối diện bằng 180o thì tứ giác kia nội tiếp được mặt đường tròn.

- Tứ giác ABCD gồm 2 đỉnh C và D sao cho 

*
thì tđọng giác ABCD nội tiếp được.

XI. Đường tròn nội tiếp, con đường tròn ngoại tiếp

1. Định nghĩa

*

- Đường tròn đi qua tất cả những đỉnh của một đa giác được Call là đường tròn ngoại tiếp đa giác cùng nhiều giác được điện thoại tư vấn là đa giác nội tiếp con đường tròn.

- Đường tròn tiếp xúc cùng với vớ cả các cạnh của một đa giác được hotline là đường tròn nội tiếp đa giác và đa giác được call là đa giác ngoại tiếp mặt đường tròn.

2. Định lí

- Bất kì đa giác mọi như thế nào cũng có thể có một và duy nhất mặt đường tròn nước ngoài tiếp, bao gồm một cùng chỉ một đường tròn nội tiếp.

- Tâm của hai đường tròn này trùng nhau với được Điện thoại tư vấn là trung khu của đa giác đa số.

- Tâm này là giao điểm hai tuyến đường trung trực của hai cạnh hoặc là hai tuyến phố phân giác của nhị góc.

* Chú ý:

- Bán kính con đường tròn nước ngoài tiếp nhiều giác là khoảng cách từ vai trung phong cho đỉnh.

- Bán kính đường tròn nội tiếp đa giác là khoảng cách trường đoản cú tâm O đến 1 cạnh.

- Cho n_ giác (đa giác gồm n cạnh) đông đảo cạnh a. lúc đó:

Chu vi của nhiều giác: 2p = na (p là nửa chu vi)

Mỗi góc sống đỉnh của đa giác bao gồm số đo bằng: 180o(n-2)/n

Mỗi góc ngơi nghỉ trọng tâm của đa giác có số đo bằng: 360o/n

Bán kính con đường tròn nước ngoài tiếp R = a/(2sin(180o/n)) ⇒ a = 2.R.sin(180o/n)

Bán kính mặt đường tròn nội tiếp r = a/(2tan(180o/n)) ⇒ a = 2.r.tan(180o/n)

Liên hệ thân nửa đường kính mặt đường tròn ngoại tiếp với nội tiếp: R2 - r2 = a2/4

Diện tích nhiều giác đều: S = (1/2)nar

XII. Độ dài con đường tròn, cung tròn

1. Công thức tính độ lâu năm con đường tròn (chu vi mặt đường tròn)

- Độ nhiều năm C của một con đường tròn nửa đường kính R được tính theo công thức C = 2πR hoặc C = πd(d=2R)

2. Công thức tính độ nhiều năm cung tròn

Trên đường tròn bán kính R, độ nhiều năm l của một cung no được tính theo công thức: 

*

XIII. Diện tích hình tròn trụ, hình quạt tròn

1. Công thức tính diện tích S hình tròn

- Diện tích S của một hình trụ nửa đường kính R được xem theo công thức: S = πR2

2. Công thức tính diện tích hình quạt tròn

- Diện tích hình quạt tròn bán kính R cung no được tính theo công thức 

*
 (l là độ nhiều năm cung no của hình quạt tròn)

C. Các dạng bài bác tập về con đường tròn

Dạng 1: Chứng minh nhiều điểm thuộc thuộc 1 mặt đường tròn

* Phương pháp: Chứng minh các điểm vẫn mang đến bí quyết số đông 1 điểm cho trước

Ví dụ: Cho tam giác ABC bao gồm ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các con đường cao lần lượt là AD, BE, CF. Chứng minc rằng, tứ điểm B,C,E,F cùng nằm tại một đường tròn.

* Lời giải:

*

⇒ E và F thuộc nằm trên đường tròn 2 lần bán kính BC.

⇒ Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một con đường tròn.

Dạng 2: Xác định trung ương với bán kính của đường tròn nước ngoài tiếp

* Pmùi hương pháp:

- Tam giác thường: Vẽ hai tuyến phố trung trực, giao của 2 con đường trung trực là trung ương của con đường tròn nước ngoài tiếp tam giác

- Tam giác vuông: Tâm con đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

- Tam giác cân: Tâm của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ở trên tuyến đường cao hạ trường đoản cú đỉnh xuống đáy tam giác.

- Tam giác đều: Tâm của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác trùng cùng với trọng tâm, trực trọng tâm với trung ương đường tròn nội tiếp tam giác.

ví dụ như 1: Tính nửa đường kính của mặt đường tròn nước ngoài tiếp tam giác ABC vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.

* Lời giải:

- Theo định lý pitago ta tính chiều dài cạnh huyền, ta có:

- Vì tam giác vuông cân, yêu cầu trung khu con đường tròn là trung điểm của cạnh huyền cùng chiều lâu năm bán kính là:

*

Ví dụ 2: Xác định tâm với nửa đường kính của con đường tròn trọng tâm (O) nước ngoài tiếp tam giác phần lớn ABC gồm cạnh bằng a.

* Lời giải:

*

bài tập 1: Cho hình thoi ABCD .call O là giao điểm hai tuyến đường chéo cánh ; M,N,R,S là hình chiếu của O thứu tự bên trên AB , BC, CD cùng DA . Chứng minc 4 điểm M,N,R,S nằm trong một đường tròn .

* Lời giải: Chứng minch 4 tam giác vuông đều nhau.

ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO

(vị cạnh huyền cân nhau ,góc nhọn bởi nhau)

* Suy ra OM = ON = OR = OS

* Vậy M,N,R,S ∈ O

những bài tập 2: Cho Δ ABC cân nặng tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH giảm Đường tròn sinh sống D .

1) Vì sao AD là đường kính của (O) ?

2) Tính số đo góc ACD ?

3) Cho BC = 24 cm ; AC = 20 centimet ;Tính chiều cao AH với bán kính của (O)

* Lời giải:

1) Vì trung ương O là giao điểm của 3 đường trung trực của Δ ABC

Mà Δ ABC cân làm việc A yêu cầu con đường cao AH cũng đó là trung trực ⇒ O ∈ AH

⇒ AD là dây qua chổ chính giữa ⇒ AD là mặt đường kính

2) Nối DC; OC

Ta bao gồm CO là trung con đường nhưng CO = AD/2 = R

⇒ Δ ACD vuông làm việc C đề xuất = 900

3) Vì AH là trung trực ⇒ BH = HC = BC/2 =24/2 = 12

Xét Δ vuông AHC có : 

*

Xét Δ vuông ACD bao gồm : AC2 = AH .AD

⇒ AD = AC2 / AH = 202 /16 = 25 cm ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm

Bài tập 3: Cho đường tròn (O) 2 lần bán kính AB, điểm M ở trong đường tròn, vẽ điểm N đối xứng với A qua M; BN giảm con đường tròn tại C, Hotline E là giao điểm của AC và BM.

1) Chứng minh:NE ⊥ AB

2) call F là vấn đề đối xứng cùng với E qua M. Chứng minc FA là tiếp con đường của mặt đường tròn (O)

3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . Giả sử HB=R/2 , tính CB; AC theo R

các bài luyện tập 4: Cho đường tròn (O; R) 2 lần bán kính AB, mang điểm C trên tuyến đường tròn làm sao để cho AC = R.

1) Tính BC theo R cùng những góc của tam giác ABC.

2) Call M là trung điểm của AO, vẽ dây CD đi qua M. Chứng minh tđọng giác ACOD là hình thoi.

3) Tiếp tuyến tại C của đường tròn giảm đường trực tiếp AB tại E. Chứng minch ED là tiếp tuyến của mặt đường tròn (O)

4) Hai mặt đường trực tiếp EC và DO cắt nhau trên F. Chứng minc C là trung điểm của EF

Những bài tập 5: Cho hai tuyến phố tròn (O; R) cùng (O; R’) xúc tiếp bên cạnh tại A. Kẻ tiếp con đường bình thường không tính BC. với B ∈ (O) và C (O")

1) Tính góc BÂC

2) Vẽ đường kính BOD. Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng

3) Tính DA.DC

4) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến đường của con đường tròn tất cả đường kính BC, và tính BC?

các bài luyện tập 6: Cho đường tròn trung ương O, đường kính AB. Trên đường tròn rước 1 điểm C làm thế nào để cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD ,vẽ CH vuông góc với AB tại H

1) Chứng minc : AE=AF và BE=BF

2) ADCO là tứ giác nội tiếp

3) DC2 = DE.DB

4) AF.CH = AC.EC

5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)

6) Từ E kẻ đường thẳng tuy nhiên tuy vậy v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D,Q,F thẳng hàng

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *